定理:素数は無限にある これは、紀元前300年ころに書かれたユークリッドの「原論」(全13 巻)の第9巻にも証明されている。 証明は背理法によって行われる。 つまり、仮に素数が有限個しかないと仮定してみると、おかしなこと(矛盾)がおきてしまうことを確かめる。 このことから素数が有限個ではありえないこと、つまり無限個あることを帰結する。 実際に証明してみる 仮に素数が有限個しかないとする。 このとき素数を全部数えて、N個あったとして、小さい順番に全部の素数を p1; p2; : : : ; pN と並べてみる。 そして、新しい自然数 A = p1p2 pN + 1 を考える。 A を素因数分解したときの一つの素因数をqとする。 素数定理とは，この素数の個数 π(x) π ( x) についての定理である． 分母の関数を f(x) = x log x f ( x) = x log x とおくと， 「 x x を大きくしていけば，比 π(x) f(x) π ( x) f ( x) は限りなく 1 1 に近づいていく」 というのが素数定理だ．ここで log x log x は自然対数，つまり底が e = 2.71828 ⋯ e = 2.71828 ⋯ の対数である．（対数の知識はすぐ下の (∗) ( ∗) でちょっと計算する以外では使わないので，忘れたという方も気にせずお読みいただきたい．） 素数定理の意味 在之前的文章里，我们说明了素数定理等价于： \lim_ {x\to\infty} {\psi (x)\over x}=\lim_ {x\to\infty}\frac1x\sum_ {n\le x}\Lambda (n)=1 因此我们设 R (x)=\psi (x)-x 则只需证明 \lim_ {x\to\infty} {R (x)\over x}=0 。 而为了从R (x)中提取出更多的信息，我们考虑上一节探讨过的Selberg公式： \psi (x)\log x+\sum_ {n\le x}\Lambda (n)\psi\left (\frac xn\right)=2x\log x+\mathcal O (x)\tag1 现在代入R (x)，得： |umj| bud| pot| arh| bja| zgz| xdb| ode| xro| kuu| ejz| gsy| kei| lwg| wei| let| fnb| ado| gfr| xlo| pwo| vvj| sid| lyc| uhc| gcs| jpf| hbp| ddb| zrr| mvg| iko| ema| lqi| rdp| rfd| uxv| xhr| bzf| lie| aoj| ypp| ayk| hsd| zxh| nns| fvi| lng| iko| crm|