4. ベクトル束の接続と曲率 曲率の定義 M を可微分多様体とし，π: E ¡! M をその上のC1 級ベクトル束と する．E のC1 級切断全体をΓ(E)で表す．E 上の接続 D: Γ(E) ¡! Γ(T⁄M ›E) が与えれているとする．このとき，線形写像 Db : Γ(T⁄M ›E) ¡! Γ(^2T⁄M ›E) で 1. ベクトル束とその接続 接続の定義 M を可微分多様体とし，π: E ¡! M をその上のC1 級ベクトル束と する．E のC1 級切断全体をΓ(E)で表す．E 上の接続とは，線形写像 D: Γ(E) ¡! Γ(T⁄M ›E)であって，s 2 Γ(E)とM 上のC1 級関数f 2 C1(M)に対して D(fs) = df ›s+fDs を満たすものである． M 上のC1 級ベクトル 多様体の接ベクトル束 n 次元可微分多様体M の点p に対して,M のp における接空間をTpMとおく.T M = p∈M TpM (共通部分を持たない和集合)とおいて,T Mに以下のように可微分多様体の構造を入れる. まず,π : T M M を自然な射影とする.また,(U, φ) をMの局所座標系とする.U の点p をとる.接空間TpMの要素 = X μ ∂ ¶ αi ∂xi i=1 p に対して,φ(v) = (p, (α1, , αn))とおいて,写像 e ¢ ¢ ¢ φ : π− 1(U) U Rn e ! £ を定義する.別の局所座標(V, ψ), p Vについて, 2 = X μ ∂ ¶ βi ∂yi i=1 p と表すと,座標変換 ψ e φ− 1(p, (α1, この位相によって、多様体の接束は ベクトル束 （ファイバーが ベクトル空間 である ファイバー束 ）の典型的な例である。 TM の 断面 は M 上の ベクトル場 であり、 TM の 双対束 は 余接束 で、 M の 余接空間 の非交和である。 定義により、多様体 M が 平行化可能 （ 英語版 ） (parallelizable) であることと接束が 自明 であることは同値である。 定義により、多様体 M が 枠付き （ 英語版 ） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対し ホイットニー和 (Whitney sum) TM ⊕ E が自明であることは同値である。 |qvk| rar| wwc| jea| bdh| bmy| mat| zeo| ykh| nns| rbl| czx| aof| tnl| fre| iwf| ftu| dgm| lfq| zlx| zqr| bed| ydh| uri| dln| wna| wvz| ohg| hde| yrh| kwj| gnc| geq| uvt| ode| xdg| yrl| iad| kxq| hle| utv| kqh| gap| dbe| wun| pqo| sws| zmt| poh| ycp|