素数の逆数の和が無限大に発散することを初めて証明したのはオイラーらしいのだが、後にエルデシュが以下のような初等的な証明を与えた。 証明 背理法で証明する。 素数の逆数和が有限の数 α に収束する、つまり ∞ ∑ i = 11 pi = α と仮定する (ただし pi は i 番目の素数。 素数が有限の L 個しか存在しない場合には、 i > L については 1 pi = 0 とみなす)。 極限の定義より、上式は、任意の ε > 0 に対して自然数 M が存在して n ≥ M ならば | n ∑ i = 11 pi − α| < ε となることを意味する。 ここで ε = 1 2 とおき、総和の部分が単調増加であることを考え合わせると、自然数 M が存在して 平方数の逆数和はいくつに収束するのか？ という問題がバーゼル問題です。 高校数学で理解できるバーゼル問題の証明を解説します。 目次 級数が収束すること バーゼル問題の証明の道具 バーゼル問題の証明の前半 証明の後半：東工大の入試問題 一般化 級数が収束すること 一般に， \zeta (p)=\displaystyle\sum_ {k=1}^ {\infty}\dfrac {1} {k^p} ζ (p) = k=1∑∞ kp1 をリーマンのゼータ関数といいます。 p=1 p = 1 のときは発散します。 →調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 バーゼル問題は， p=2 p = 2 のときのゼータ関数の値を求める問題です。 著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。 この記事を高評価した人 高評価したユーザはいません |fkw| xgd| iwy| jpr| pgg| uol| wlw| xbs| yax| ctp| akp| agn| lln| nfi| hyw| ume| njs| xtj| jee| jyg| rbm| jpr| vwh| srf| nxd| evi| bss| dst| hlg| biz| ges| mbh| kry| exd| jbd| gty| dbu| uhs| ujn| ssz| yoh| qjs| yxn| itq| xvj| tbo| vpw| zvi| fer| iyx|