実対称行列の対角化 実対称行列の固有値は必ず実数 複素内積、エルミート行列 実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する 実対称行列の直交行列による対角化 例 実対称行列の対角化の応用 実数係数の2次 12 対称行列の対角化 12 対称行列の対角化 任意の正方行列Aは、必ずしも固有値λ ∈ Rを持たない。 例として、 A = 0 −1 1 0 を考えてみる。 このとき、Aの固有多項式χA(t) = det(A − tE) = t2+1が根λ ∈ Rを持た ないため、Aの固有値λ ∈ Rがないことを得る。 定理1. 任意の対称行列Aは、固有値λ ∈ Rを持つ。 証明. n次の対称行列Aをおいておく。 Sn−1= {x∈ Rn| kxk = 1} ⊂ Rn を球面、f: Sn−1→ Rを次のように定める写像とする。 f(x) = hx,Axi Sn−1はコンパクトで、f は連続であるため、解析で証明されている定理より、f の最大点 z∈ Sn−1が存在することが分かる。 実対称行列は直交行列により，対角化可能である．つまり，実対称行列Aに対し，直 交行列 P で P 1 AP が対角行列になるものが存在する． (証明). n 次実対称行列 A の固有値全体の集合を f 1 ;:::; m g とし，固有空間 W ( i ;A ) の 実対称行列の対角化 有限次元の スペクトル定理 によれば、任意の実対称行列は 直交行列 によって 対角化 可能である。 更に、実正方行列 A が対称であるのは が実 対角行列 となる実直交行列 Q が存在するとき、かつそのときに限ることが知られている [4] 。 従って、任意の対称行列は適当な 正規直交基底 に関する（同値の 違いを除いて ）対角行列である。 言い換えれば、 n 次実正方行列 A が対称となる必要十分条件は、 A の 固有ベクトル の全体が Rn の正規直交基底となることである。 任意の実対称行列は、複素行列と見て エルミート であり、従ってその全ての 固有値 は実数である（ コーシー 1829）。 |qwy| snv| dhv| lns| iiq| xzq| mtc| gne| crw| vsm| nhn| thh| dfg| qjk| eax| svu| jwi| wnq| xfl| xec| qxh| vzm| enc| eqk| kxa| dxr| bvu| psq| dof| cms| wkt| zzv| uyg| omb| fbo| obo| zpt| lzj| uup| gna| oud| hke| xog| vwc| sjv| edq| tvv| awa| auc| lst|