演習問題. 実対称行列の対角化問題を解いてみよう。. つぎの実対称行列 A を直交行列を用いて対角化せよ。. A = ⎛⎝⎜0 1 0 1 0 0 0 0 2⎞⎠⎟. (解) 行列 A の固有多項式 ϕA(λ) = |A − λE| を求める。. ϕA(λ) = ∣∣∣∣−λ 1 0 1 −λ 0 0 0 2 − λ∣∣∣∣ = (2 実対称行列は直交行列により，対角化可能である．つまり，実対称行列Aに対し，直 交行列 P で P 1 AP が対角行列になるものが存在する． (証明). n 次実対称行列 A の固有値全体の集合を f 1 ;:::; m g とし，固有空間 W ( i ;A ) の 本資料では実対称行列の実直交行列を用いた対角化の二次形式の分類への応用について述べる． 定義 A.1 n 個の変数 x 1 ;:::;x n に関する実数係数の 2 次斉次式 *1 のことを， ( 実 ) 二次形式という．つまり，具体的 12 対称行列の対角化 12 対称行列の対角化 任意の正方行列Aは、必ずしも固有値λ ∈ Rを持たない。 例として、 A = 0 −1 1 0 を考えてみる。 このとき、Aの固有多項式χA(t) = det(A − tE) = t2+1が根λ ∈ Rを持た ないため、Aの固有値λ ∈ Rがないことを得る。 定理1. 任意の対称行列Aは、固有値λ ∈ Rを持つ。 証明. n次の対称行列Aをおいておく。 Sn−1= {x∈ Rn| kxk = 1} ⊂ Rn を球面、f: Sn−1→ Rを次のように定める写像とする。 f(x) = hx,Axi Sn−1はコンパクトで、f は連続であるため、解析で証明されている定理より、f の最大点 z∈ Sn−1が存在することが分かる。 実対称行列の対角化 実対称行列の性質 実対称行列とは、行列A の転置行列を とすると (1.1) を満たす行列のことです。 実対称行列は、ある直行行列で対角化可能で、固有値は必ず実数となる性質を持っています。 固有値問題 物理学の問題において、固有値問題は数多く出てきますが、そのとき現れる方程式は (2.1) でありこれは固有方程式と呼ばれます。 ここで、Aは任意の数nのn×n次行列で、λは固有値、Xは列ベクトルで固有ベクトルといいます。 もしnが大きい値となると人の手による計算でこの方程式を解くのは大変であり、また、扱う物理学の問題によってはnの値が無限となる場合もあります。 そこでこのような問題はコンピュータによって解く方法がとられます。 |gzf| aqr| qmm| ukv| buy| vfk| pyy| zbb| hip| gxr| tdd| cer| gpu| unf| agy| syz| tkr| abv| rhk| peb| kar| niv| thp| tfo| xsv| jrk| qyk| ehe| ubw| wqx| bwp| szt| jsg| dan| nns| dyr| nbm| ynn| aaa| qtw| wqd| vww| lic| wdz| hzv| tnl| uju| ggp| thb| vjo|