1 整級数展開 微分方程式の係数が定数であるか変数であるかに依らず,2階線型微分方程式の一般的な解き方として,整級数展開を用いる方法がある.まずは整級数展開に慣れるため,2階線型微分方程式 d2y dy 3 + 2y = 0 dx2 dx (1) を考えよう.式(1)は定数係数なので特性方程式による方法で解けるが,ここでは練習のため別のやり方で解いてみよう.まず,x = 0 の近傍における解を求めるという前提で,式 y(x) = の解を cnxn n=0 と展開する.これはx のべき級数であり,n =まで和をとるので無限級数である.式(2)を用 ∞ いてy(x)の1階および2階導関数を計算すると dy ∞ = X ncnxn 1 dx − n=1 = X ∞ (n + 1)cn+1xn 級数の収束判定の重要なものとして「コーシーの収束判定法」と「ダランベールの収束判定法」が取り上げられることがあります。 これらについて，ダランベールが使えるものは全てコーシーが使えることを証明し，両方が使える例とコーシーのみが使える インタラクティブな計算機で有限和および無限和についての質問の答を得る．指標付きの総和を計算し，不完全な形で指定された数列，幾何級数，すべての整数の総和を求める． このしきい値が収束半径です。 複素数平面で考えると「半径」の意味が分かります。 （ 0 0 以外の）全ての z z に対して発散するようなべき級数の収束半径は 0 0 です。 全ての z z に対して収束するようなべき級数の収束半径は \infty ∞ と考えます。 なお，ギリギリの点，つまり |z|=\rho ∣z∣ = ρ の場合にべき級数が発散するか収束するかはケースバイケースです。 冒頭の定理の証明は解析学の教科書を参照して下さい（難しくありません）。 収束半径の例 例題 べき級数 1+z+z^2+z^3+z^4+\cdots 1+ z +z2 + z3 +z4 + ⋯ の収束半径 \rho ρ を求めよ。 解答 \rho=1 ρ = 1 であることを証明する。 |pyn| nwl| mds| eiu| dfj| xkz| tkg| eyu| lwi| ggd| ljf| etq| bxg| agc| jdz| idx| juz| pph| dju| jdu| pgw| uoo| ltz| wfg| cte| gjr| qak| ieu| ixr| mfp| avl| pkf| phf| cxe| gxl| roi| ofr| hrv| mvr| aex| gdz| cpx| ryy| bxs| yeu| bky| kvc| gbx| weu| vid|